Hyperbolischer Zellularautomat

Browser-Zellularautomat

Eine erweiterte Variante mit Form-Auswahl (Hyperbolic, Donut, Rechteck), Kachel-Tiling und Hex-Modus ist als separates Python-Programm zellularautomat_v2 verfügbar (siehe Download-Bereich). Diese Seite bleibt der Theorie und dem klassischen Original gewidmet.
An extended variant with topology selection (hyperbolic, donut, rectangle), tile-grid tiling, and hex mode is available as a separate Python program zellularautomat_v2 (see downloads section). This page remains dedicated to the theory and the classical original.

Künstlerische Einordnung

Hyperbolische Geometrie

In der euklidischen Geometrie gilt das Parallelenaxiom: Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden gibt es genau eine Parallele. In der hyperbolischen Geometrie gibt es unendlich viele Parallelen – der Raum ist negativ gekrümmt. Die Winkelsumme eines Dreiecks ist kleiner als 180°.

Wir verwenden das Poincaré-Halbebenenmodell: Die obere Halbebene \( H = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Im}(z) > 0\} \) wird über die Cayley-Transformation auf die Einheitskreisscheibe abgebildet.

z' = (z - i) / (z + i)

z = i · (1 + z') / (1 - z')

Geraden in der Halbebene (vertikale Halbgeraden und Halbkreise mit Mittelpunkt auf der reellen Achse) werden zu Kreisbögen, die den Rand des Einheitskreises senkrecht treffen. Im Modell schrumpfen alle Objekte zum Rand hin – das ist das visuelle Zeichen der negativen Krümmung. Das Gitter wirkt unendlich groß, obwohl es in einen endlichen Kreis gepresst ist.

Hexagonale Geometrie / Hexagonal geometry

In der euklidischen Ebene treffen sich an jedem Knoten drei regelmäßige Sechsecke (Schläfli-Symbol {3,6}). Jede hexagonale Zelle hat 6 Nachbarn – zwei horizontale und vier diagonale – und besitzt eine dreifache Rotationssymmetrie. Anders als das Quadratgitter (4 Nachbarn) hat das Hex-Gitter keine kanonische "links/rechts"-Achse: alle sechs Richtungen sind äquivalent.
In the Euclidean plane, three regular hexagons meet at each vertex (Schläfli symbol {3,6}). Each hexagonal cell has 6 neighbors – two horizontal and four diagonal – with three-fold rotational symmetry. Unlike the square lattice (4 neighbors), the hex grid has no canonical "left/right" axis: all six directions are equivalent.

In der hyperbolischen Ebene ist das reguläre Analogon nicht das Sechseck, sondern das Siebeneck: das Heptagonal-Gitter {3,7} mit 7 Dreiecken pro Knoten. Reine Hex-Gitter bleiben euklidisch (flach, Krümmung = 0). Im v2-Programm ist Hex-Modus deshalb auf die Topologien Donut und Rechteck beschränkt.
In the hyperbolic plane, the regular analog is not the hexagon but the heptagon: the heptagonal tiling {3,7} with 7 triangles per vertex. Pure hex grids remain Euclidean (flat, curvature = 0). In the v2 program, hex mode is therefore restricted to the donut and rectangle topologies.

Regeln des zellulären Automaten

Notation (B/S): B steht für Birth (Geburt), S für Survive (Überleben). Die Zahlen geben an, bei wie vielen lebenden Nachbarn die jeweilige Aktion eintritt.
Notation (B/S): B stands for Birth, S for Survive. The numbers indicate the exact number of live neighbors required for the action.

Regel 110 (1D, Turing-vollständig) / Rule 110 (1D, Turing-complete)

Wird zeilenweise angewendet: Jede Zeile des Gitters ist eine unabhängige 1D-Kette. Der neue Zustand hängt nur von der Zelle selbst und ihren linken/rechten Nachbarn ab.
Applied row-wise: each row is an independent 1D chain. The new state depends only on the cell and its left/right neighbors.

Regel 30 (1D, chaotisch) / Rule 30 (1D, chaotic)

Bekannt für ihre Verwendung als Pseudo-Zufallszahlengenerator (Wolfram).
Known for its use as a pseudo-random number generator (Wolfram).

Game of Life (2D, B3/S23) – explizit / explicit

Jede Zelle hat vier orthogonale Nachbarn (oben, unten, links, rechts). Lebende Zelle überlebt mit 2 oder 3 lebenden Nachbarn; tote Zelle wird lebendig bei genau 3 lebenden Nachbarn.
Each cell has four orthogonal neighbors (top, bottom, left, right). A live cell survives with 2 or 3 live neighbors; a dead cell becomes alive with exactly 3 live neighbors.

Hex-Regeln (2D, 6 Nachbarn) / Hex rules (2D, 6 neighbors)

Im Hex-Modus hat jede Zelle 6 Nachbarn. Drei gut dokumentierte Life-Varianten:
In hex mode each cell has 6 neighbors. Three well-documented life-like rules:

Hinweis: Regel 110/30 sind 1D-Regeln und werden im Hex-Modus nicht angewendet. Im Hex-Modus sind ausschließlich die obigen B/S-Regeln verfügbar.
Note: Rule 110/30 are 1D rules and are not applied in hex mode. Hex mode offers only the B/S rules above.

Topologien / Topologies

Kosmologische Topologie / Cosmological topology

Donut, Rechteck, Hex und Hyperbolisch sind Kandidaten für die globale Form des Universums. In der Kosmologie entspricht der Donut (Torus) einem flachen, kompakten, periodischen Raum ohne Rand – dieselbe Topologie, die wir in der CA-Simulation als "Wrap-around" verwenden. Das Rechteck steht für ein flaches Universum mit statischen (nicht-periodischen) Rändern. Hyperbolisch entspricht einem negativ gekrümmten, offenen Universum.
Donut, rectangle, hex and hyperbolic are candidates for the global shape of the universe. In cosmology the donut (torus) corresponds to a flat, compact, periodic space without boundary – the same topology we use in the CA simulation as "wrap-around". Rectangle stands for a flat universe with static (non-periodic) boundaries. Hyperbolic corresponds to a negatively curved, open universe.

Beobachtbar wird die Topologie über die kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (CMB): Cornish, Spergel & Starkman (1998) zeigten, dass ein kompakter Torus endlicher Größe matched circles im CMB-Himmel erzeugen würde. Bislang ist die einfachste Annahme – flach, unendlich – mit den Daten verträglich, schließt einen kompakten Torus aber nicht aus. Das Poincaré-Dodekaeder-Modell (Luminet et al. 2003) wäre ein hyperbolischer Kandidat.
The topology becomes observable through the cosmic microwave background (CMB): Cornish, Spergel & Starkman (1998) showed that a finite-size compact torus would produce matched circles in the CMB sky. So far the simplest assumption – flat, infinite – is consistent with the data, but does not rule out a compact torus. The Poincaré-dodecahedral model (Luminet et al. 2003) would be a hyperbolic candidate.

Steuerung

• 1 / 2 / 3 – Regel wechseln
• + / - – Geschwindigkeit anpassen (1–30 Gen/s)
• Leertaste – Pause / Weiter
• R – Zellen zufällig verteilen (50 %)
• Mausklick – Zelle toggeln
• Esc – Beenden

Installation & Start

# 1. venv anlegen
python3 -m venv .venv
source .venv/bin/activate

# 2. Abhängigkeiten installieren
pip install pygame numpy

# 3. Starten
python zellularautomat.py